Почтовый адрес: САФУ, Редакция «Arctic Environmental Research», наб. Северной Двины, 17, г. Архангельск, Россия, 163002
Местонахождение: Редакция «Arctic Environmental Research», наб. Северной Двины, 17, ауд. 1410а, г. Архангельск

Тел: (818-2) 21-61-21 
Сайт: http://aer.narfu.ru/
e-mail: vestnik_est@narfu.ru;
            vestnik@narfu.ru

О журнале

О спектральных свойствах многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым потенциалом. С. 376–392

Версия для печати

Рубрика: Физика, Математика, Информатика

УДК

517.927

Сведения об авторах

С.И. Митрохин*
*Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова (Москва)
Контактное лицо: Митрохин Сергей Иванович, адрес: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр. 4; e-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru

Аннотация

Изучается краевая задача для дифференциального оператора высокого нечетного порядка. Потенциал оператора является суммируемой функцией на отрезке изучения оператора. Граничные условия заданы на границах отрезка и в нескольких внутренних точках, которые делят отрезок на несоизмеримые части. Таким образом, граничные условия являются многоточечными. Многоточечные граничные условия возникают при изучении колебаний мостов и балок, опоры которых находятся во внутренних точках. В статье найдена асимптотика решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального параметра при условии суммируемости потенциала. Ранее асимптотика решений дифференциальных уравнений изучалась в случае гладких коэффициентов, затем – в случае кусочно-гладких коэффициентов. Асимптотические оценки в различных секторах комплексной плоскости получаются аналогично выводу оценок методом М.А. Наймарка. С помощью полученной асимптотики решений исследованы граничные условия. Это исследование приводит к системе однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Таким образом, выведено уравнение, которому удовлетворяют собственные значения изучаемого оператора. Изучена индикаторная диаграмма этого уравнения. Функция, которой удовлетворяют собственные значения, является целой в различных секторах индикаторной диаграммы. С помощью индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. Доказано, что спектр изучаемого оператора является дискретным. Показано, что у этого оператора не наблюдается эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений. С помощью полученного спектра можно изучить поведение собственных функций исследуемого оператора.

Ключевые слова

многоточечная краевая задача, спектральный параметр, многоточечные граничные условия, суммируемый потенциал, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значений
Скачать статью (pdf, 2.5MB )

Список литературы

  1. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. Акад. наук СССР. 1953. Т. 88, № 4. С. 593–596. 
  2. Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма–Лиувилля // Успехи матем. наук. 1958. Т. 13, вып. 3(81). С. 111–143. 
  3. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 52–59. 
  4. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла // Матем. сб. 1975. Т. 97(139), № 4(8). С. 540–606. 
  5. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 5. С. 679–698. 
  6. Митрохин С.И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 927–931. 
  7. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 12. С. 2059–2071. 
  8. Ломов И.С. О базисности корневых функций операторов с многоточечными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 6. С. 1053–1056. 
  9. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма–Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. математическая. 2000. Т. 64, № 4. С. 47–108. 
  10. Ломов И.С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. II // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 648–660. 
  11. Митрохин С.И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфим. матем. журн. 2011. Т. 3, № 4. С. 95–115. 
  12. Баскаков А.Г., Кацаран Т.К. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 8. С. 1424–1433. 
  13. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с. 
  14. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. Т. 66, вып. 6. С. 897–912. 
  15. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. Моск. матем. общ-ва. 2003. Т. 64. С. 159–212. 
  16. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 2001. Т. 69, вып. 3. С. 427–442. 
  17. Сафонова Т.А., Рябченко С.В. О собственных значениях оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом // Вестн. Сев. (Арктич.) федер. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2016. № 2. С. 115–125. 
  18. Конечная Н.Н., Сафонова Т.А., Тагирова Р.Н. Асимптотика собственных значений и регуляризованный след первого порядка оператора Штурма–Лиувилля с δ-потенциалом // Вестн. Сев. (Арктич.) федер. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2016. № 1. С. 104–113. 
  19. Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных пучков на графе-кусте // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1. С. 51–61. 
  20. Митрохин С.И. Многоточечные дифференциальные операторы: «расщепление» кратных в главном собственных значений // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1. С. 5–18. 
  21. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с. 22. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Докл. Акад. наук СССР. 1980. Т. 254, № 6. С. 1346–1348. 
  22. Белабасси Ю. Регуляризованный след многоточечной задачи // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика, механика. 1981. № 2. С. 35–41.